Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{2}$ para $ℝ^{2}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Etapa 6

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Etapa 7

A propriedade de adição da transformação é verdadeira.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Etapa 8

Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Etapa 9

Fatore $p$ a partir de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $p$ por cada elemento na matriz.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Etapa 9.2

Aplique a transformação ao vetor.

Etapa 9.3

Reorganize $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Etapa 9.4

Fatore o elemento $0, 0$ multiplicando $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Etapa 10

A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Etapa 11

Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.

$M (0) = 0$

Etapa 12

Aplique a transformação ao vetor.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 13

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Reorganize $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 13.2

Reorganize $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 14

O vetor zero é preservado pela transformação.

$M (0) = 0$

Etapa 15

Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.

Transformação linear